Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Thanh Dii

Giải các phương trình sau:

a, \(\left(x-3\right)^2+x^4=-y^2+6y-4\)

b, \(\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-2x}-x^2+4x-6=0\)

c, \(4+4x-x^2=|x-1|+|x-2|+|2x-3|+|4x-14|\)

d, \(x^2-2x+3=\sqrt{2x^2-x}+\sqrt{1+3x-3x^2}\)

Akai Haruma
28 tháng 12 2018 lúc 18:11

Câu a:

Ta có:

\((x-3)^2+x^4=-y^2+6y-4\)

\(\Leftrightarrow (x-3)^2+x^4+y^2-6y+4=0\)

\(\Leftrightarrow x^4+x^2-6x+9+y^2-6y+4=0\)

\(\Leftrightarrow x^4+x^2-6x+4+(y^2-6y+9)=0\)

\(\Leftrightarrow (x^4-2x^2+1)+3(x^2-2x+1)+(y^2-6y+9)=0\)

\(\Leftrightarrow (x^2-1)^2+3(x-1)^2+(y-3)^2=0\)

\(\Rightarrow (x^2-1)^2=(x-1)^2=(y-3)^2=0\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=1\\ y=3\end{matrix}\right.\)

Vậy..........

Akai Haruma
28 tháng 12 2018 lúc 18:17

Câu b:

ĐKXĐ: \(\frac{3}{2}\leq x\leq \frac{5}{2}\)

\(\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-2x}-x^2+4x-6=0\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{2x-3}+\sqrt{5-2x}=x^2-4x+6\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\(\text{VT}^2\leq (1+1)(2x-3+5-2x)=4\)

\(\Rightarrow \text{VT}\leq 2\)

\(\text{VP}=x^2-4x+6=(x-2)^2+2\geq 2\)

Do đó để \(\text{VT}=\text{VP}\) thì \(\text{VT}=2=\text{VP}\)

Điều này xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x-3}=\sqrt{5-2x}\\ (x-2)^2=0\end{matrix}\right.\Rightarrow x=2\) (t/m)

Vậy pt có nghiệm duy nhất $x=2$

Akai Haruma
28 tháng 12 2018 lúc 18:21

Câu c:

Áp dụng BĐT dạng \(|a|+|b|\geq |a+b|\) ta có:

\(\text{VP}\geq |(x-1)+(x-2)|+|2x-3|+|4x-14|=|2x-3|+|2x-3|+|2x-14|\)

\(=2(|2x-3|+|2x-7|)=2(|2x-3|+|7-2x|)\geq 2|2x-3+7-2x|=8\)

Và:

\(\text{VT}=4+4x-x^2=8-(x^2-4x+4)=8-(x-2)^2\leq 8\)

Do đó : \(\text{VT}\leq 8\leq \text{VP}\)

Dấu "=" xảy ra khi \((x-2)^2=0\Rightarrow x=2\)

Thử lại thấy đúng

Vậy PT có nghiệm duy nhất $x=2$

Akai Haruma
28 tháng 12 2018 lúc 18:42

Câu d:

ĐKXĐ:..........

\(x^2-2x+3=\sqrt{2x^2-x}+\sqrt{1+3x-3x^2}\)

Ta thấy: \(\text{VT}=x^2-2x+3=(x-1)^2+2\geq 2\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\(\text{VP}^2\leq (1+1)(2x^2-x+1+3x-3x^2)=2(-x^2+2x+1)=2[2-(x-1)^2]\leq 2.2=4\)

\(\Rightarrow \text{VP}\leq 2\)

Vậy \(\text{VT}\geq 2\geq \text{VP}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\text{VT}=2=\text{VP}\Leftrightarrow (x-1)^2=0\Leftrightarrow x=1\)

Thử lại thấy đúng

Vậy PT có nghiệm duy nhất $x=1$


Các câu hỏi tương tự
Kim Trí Ngân
Xem chi tiết
Coodinator  Huy Toàn
Xem chi tiết
Coodinator  Huy Toàn
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
Kim Trí Ngân
Xem chi tiết
Nguyễn Thế Hiếu
Xem chi tiết
Trần Hoàng Đạt
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Bình Yên
Xem chi tiết
Đinh Doãn Nam
Xem chi tiết