Question

Giải bất phương trình sau: \(\sqrt{\frac{x^4+x^2+1}{x\left(x^2+1\right)}}\ge\sqrt{\frac{x^2+x+1}{x^2+1}}+2-\frac{x^2+1}{x}\)

Answer 1

ĐKXĐ: \(x>0\)

Ta có: \(\frac{x^4+x^2+1}{x\left(x^2+1\right)}=\frac{\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}{x\left(x^2+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\frac{\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}{x\left(x^2+1\right)}}-\sqrt{\frac{x^2+x+1}{x^2+1}}+\frac{x^2+1}{x}-2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\frac{x^4+x+1}{x^2+1}}\left(\sqrt{\frac{x^2-x+1}{x}}-1\right)+\frac{\left(x-1\right)^2}{x}\ge0\)

Mà \(\sqrt{\frac{x^2-x+1}{x}}=\sqrt{x+\frac{1}{x}-1}\ge\sqrt{2-1}=1\)

\(\Rightarrow\sqrt{\frac{x^2-x+1}{x}}-1\ge0\) \(\forall x\)

\(\Rightarrow BPT\) đã cho luôn đúng với mọi \(x>0\) hay nghiệm của BPT là \(x>0\)