Question

Giá trị của biểu thức P=\(\dfrac{ab+c}{\left(a+b\right)^2}.\dfrac{bc+a}{\left(b+c\right)^2}.\dfrac{ab+c}{\left(a+b\right)^2}\) khi a+b+c=1 và \(a\ne-b,b\ne-c,c\ne-a\) là:

Answer 1

Lời giải:

Thay $1=a+b+c$ ta có:

\(ab+c=ab+c.1=ab+c(a+b+c)=(ab+ca)+c(b+c)=(c+a)(c+b)\)

\(bc+a=bc+a(a+b+c)=(bc+ab)+a(a+c)=b(a+c)+a(a+c)=(a+b)(a+c)\)

\(ca+b=ca+b(a+b+c)=(ca+ba)+b(b+c)=a(c+b)+b(b+c)=(b+a)(b+c)\)

Do đó:
\(P=\frac{ab+c}{(a+b)^2}.\frac{bc+a}{(b+c)^2}.\frac{ac+b}{(a+c)^2}=\frac{(ab+c)(bc+a)(ca+b)}{(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2}\)

\(=\frac{(c+a)(c+b)(a+b)(a+c)(b+c)(b+a)}{(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2}=\frac{(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2}{(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2}=1\)