Question

Giả sử M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\left(2+\sqrt{3}\right)\sin x-\cos x\) .Tính M+m

Answer 1

Hàm \(y=a.sinx+b.cosx\) nói chung

\(y=\sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}sinx+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}cosx\right)=\sqrt{a^2+b^2}.sin\left(x+c\right)\)

Với \(c\in\left(0;\pi\right)\) sao cho \(cosc=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

Do \(-1\le sin\left(x+c\right)\le1\)

\(\Rightarrow-\sqrt{a^2+b^2}\le y\le\sqrt{a^2+b^2}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}M=\sqrt{a^2+b^2}\\m=-\sqrt{a^2+b^2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M+m=0\)

Nói tóm lại tổng min và max của dạng hàm này trên R luôn bằng 0 bất chấp giá trị của a và b