Giả sử giao điểm của các đường thẳng MN và EQ là H. Ta cần chứng minh H nằm trên đường thẳng PQ.
Xét tam giác QIH vuông tại I, ta có QI là đường cao và QE là đường vuông góc với QI nên tam giác QIE cũng vuông tại E. Do đó, ta có $\widehat{EQI} + \widehat{QIE} = 90^\circ$.
Tương tự, xét tam giác QFP vuông tại F, ta có $\widehat{FQP} + \widehat{QFP} = 90^\circ$.
Kết hợp hai phương trình trên, ta có:
$\widehat{EQI} + \widehat{FQP} + \widehat{QFP} + \widehat{QIE} = 180^\circ$
Do đó, các đường thẳng EQ và FP cắt nhau tại H nằm trên đường thẳng PQ theo định lí cơ sở của hình học Euclid.
Vì vậy, ta có M, N, E, P, Q nằm trên cùng một đường thẳng.
Để chứng minh rằng $M, N, E, P, Q$ là một điểm thẳng, ta cần chứng minh rằng chúng đồng quy, tức là nằm trên cùng một đường thẳng.
Trước hết, ta sẽ chứng minh rằng $F, N, E$ đồng quy.
Từ câu hỏi b, ta biết rằng $QI \cdot EF = NI \cdot PI$. Nhân cả hai vế với $\frac{1}{QI}$, ta được:
$$\frac{EF}{QI} = \frac{NI}{QI} \cdot \frac{PI}{QI}$$
Do đó, ta có thể áp dụng định lí Menelaus cho tam giác $NPQ$ và đường thẳng đi qua $F, N, E$ để suy ra rằng $F, N, E$ đồng quy.
Tiếp theo, ta chứng minh rằng $M, N, F$ đồng quy. Ta có:
$$\widehat{FNM} = \widehat{QNP} = 90^\circ - \widehat{PNQ} = \widehat{PMQ} = \widehat{FQM}$$
Do đó, ta có thể áp dụng định lí Euclid đối với tam giác $FNM$ để suy ra rằng $M, N, F$ đồng quy.
Cuối cùng, ta chứng minh rằng $M, N, E$ đồng quy. Ta có:
$$\widehat{FNE} = \widehat{PNQ} = \widehat{PMQ} = \widehat{FNQ}$$
Do đó, ta có thể áp dụng định lí Euclid đối với tam giác $FNE$ để suy ra rằng $M, N, E$ đồng quy.
Vì $F, N, E$ và $M, N, F$ đồng quy, nên ta có $M, N, E, P, Q$ đồng quy. Do đó, chúng nằm trên cùng một đường thẳng, tức là $M, N, E, P, Q$ là một điểm thẳng.
Đúng vậy, ta có $NMP = MQP = QPN = PNM = 90^\circ$. Khi đó, ta có thể suy ra được:
$\angle QNP = \angle QNM + \angle MNP = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.$\angle QEP = 90^\circ - \angle EQN = 90^\circ - \angle MQN = \angle QMN$.$\angle EPQ = \angle MPQ - \angle MPE = 90^\circ - \angle QPN - (90^\circ - \angle QNM) = \angle QNM$.Vậy ta có thể kết luận rằng $M, N, E, P, Q$ đồng thời nằm trên đường thẳng do $N$ và $Q$ tạo thành. Do đó, chúng ta có thể chứng minh được $M, N, E, P, Q$ là một điểm thẳng.
Để chứng minh rằng M, N, E, P, Q đồng thời nằm trên một đường thẳng, ta cần chứng minh rằng các điểm N, E, F cùng nằm trên một đường thẳng. Gọi G là giao điểm của NP và EQ. Ta cần chứng minh rằng F, G, N đồng thời nằm trên một đường thẳng. Do NMQ = MQP = QPN = PNM = 90°, ta có: Tam giác NMQ và tam giác PQF cân tại N và F, tương ứng. Tam giác NQP và tam giác EPQ cân tại Q và E, tương ứng. Từ đó suy ra: MQ = QF PQ = QE $\angle QEP = \angle QGP = 90^\circ - \angle QPN = \angle FQN$ Vậy, ta có thể kết luận rằng các điểm N, E, F đồng thời nằm trên một đường thẳng và do đó, M, N, E, P, Q cũng đồng thời nằm trên một đường thẳng.
Để chứng minh rằng M, N, E, P, Q đồng thời nằm trên một đường thẳng, ta cần chứng minh rằng các điểm N, E, F cùng nằm trên một đường thẳng.
Gọi G là giao điểm của NP và EQ. Ta cần chứng minh rằng F, G, N đồng thời nằm trên một đường thẳng.
Do NMQ = MQP = QPN = PNM = 90°, ta có:
Tam giác NMQ và tam giác PQF cân tại N và F, tương ứng.
Tam giác NQP và tam giác EPQ cân tại Q và E, tương ứng.
Từ đó suy ra:
MQ = QF
PQ = QE
$\angle QEP = \angle QGP = 90^\circ - \angle QPN = \angle FQN$
Vậy, ta có thể kết luận rằng các điểm N, E, F đồng thời nằm trên một đường thẳng và do đó, M, N, E, P, Q cũng đồng thời nằm trên một đường thẳng.
Vì QPF là đường thẳng nên ta chỉ xét góc NQE. Ta có: $\angle NQE = \angle NQP + \angle PQE = 90^\circ - \angle QNP + 90^\circ = 180^\circ - \angle QNP = \angle QNM$ Vì $MNE$ là đường thẳng nên $\angle QNM = \angle PQE$. Do đó, ta có $\angle NQE = \angle PQE$, hay $EP$ là tia phân giác của góc $QEF$.
Gọi G là giao điểm của NP và EQ.
Ta cần chứng minh E, P, F thẳng hàng.
Ta có: $\angle EQP = \angle NQM = 90^\circ - \angle QNM = 90^\circ - \angle QPG = \angle QPF$ (do QP song song với NG và PQ song song với EF).
Vì $\angle EQP = \angle QPF$, nên E, P, F thẳng hàng (vì hai góc bằng nhau và có cùng một cạnh nên cạnh đó phải là cạnh chung của hai góc đó).
Vậy ta đã chứng minh được EP là tia phân giác của góc QEF.