\(A=\frac{4\sqrt{x}+8+8}{\sqrt{x}+2}=4+\frac{8}{\sqrt{x}+2}>4\)
\(A=\frac{8\left(\sqrt{x}+2\right)-4\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}=8-\frac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}\le8\)
\(\Rightarrow4< A\le8\) mà A nguyên \(\Rightarrow A=\left\{5;6;7;8\right\}\)
- Với \(A=5\Rightarrow\frac{4\sqrt{x}+16}{\sqrt{x}+2}=5\Rightarrow4\sqrt{x}+16=5\sqrt{x}+10\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}=6\Rightarrow x=36\)
- Với \(A=6\Rightarrow4\sqrt{x}+16=6\sqrt{x}+12\Rightarrow\sqrt{x}=2\Rightarrow x=4\)
- Với \(A=7\Rightarrow4\sqrt{x}+16=7\sqrt{x}+14\Rightarrow\sqrt{x}=\frac{2}{3}\Rightarrow x=\frac{4}{9}\)
- Với \(A=8\Rightarrow4\sqrt{x}+16=8\sqrt{x}+18\Rightarrow x=0\)
Vậy \(x=\left\{0;\frac{4}{9};4;36\right\}\) thì A nguyên (có 4 giá trị x)
Điều kiện: \(x\ge0\)
\(A=\frac{4\sqrt{x}+16}{\sqrt{x}+2}\) \(=\frac{4\left(\sqrt{x}+2\right)+8}{\sqrt{x}+2}\) \(=4+\frac{8}{\sqrt{x}+2}\)
Để \(A\in Z\)
\(\Leftrightarrow\frac{8}{\sqrt{x}+2}\in Z\) \(\Leftrightarrow\sqrt{x}+2\inƯ\left(8\right)=\left\{\pm1;\pm2;\pm4;\pm8\right\}\)
Ta có bảng:
| \(\sqrt{x}+2\) | \(1\) | \(2\) | \(4\) | \(8\) | \(-1\) | \(-2\) | \(-4\) | \(-8\) |
| \(x\) | loại | \(0\) | \(4\) | \(36\) | loại | loại | loại | loại |
Vậy \(x\in\left\{0;4;36\right\}\)
