Gọi 2 số tự nhiên liên tiếp là \(a;a+1\left(a\in N\right)\)
Nếu \(a⋮2\Rightarrow a\cdot\left(a+1\right)=2k\left(a+1\right)⋮2\left(k\in N|k=\dfrac{1}{2}a\right)\)
Nếu \(a+1⋮2\Rightarrow a\cdot\left(a+1\right)=a\cdot2h⋮2\left(h\in N|h=\dfrac{1}{2}\left(a+1\right)\right)\)
Vậy tích của 2 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2.
Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là \(b;b+1;b+2\left(b\in N\right)\)
Nếu \(b⋮3\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b+1⋮2\left(\text{Neu b lẻ}\right)\\b+2⋮2\left(\text{Neu b chan}\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b\cdot\left(b+1\right)\cdot\left(b+2\right)=3m\cdot2n\cdot\left(b+2\right)=6mn\cdot\left(b+2\right)⋮6\left(m,n\in N|m=\dfrac{1}{3}b\text{ và }n=\dfrac{1}{2}\left(b+1\right)\right)\\b\cdot\left(b+1\right)\cdot\left(b+2\right)=3x\cdot\left(b+1\right)\cdot2y=6xy\left(b+1\right)⋮6\left(x,y\in N|x=\dfrac{1}{3}b\text{ và }y=\dfrac{1}{2}\left(b+2\right)\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy tích của 3 số liên tiếp chia hết cho 6.
+) Chứng minh tích của 2 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2
Gọi 2 số tự nhiên liên tiếp là a ; a + 1
-) Chứng minh trong 2 số tự nhiên liên tiếp luôn có 1 số chia hết cho 2 (cái này khỏi bàn)
- Vì trong 2 số tự nhiên liên tiếp luôn có 1 số chia hết cho 2
\(\Rightarrow a.\left(a+1\right)⋮2\)
Vậy tích của 2 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2
+) Chứng minh tích của 3 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 6
Đặt tích của 3 số tự nhiên liên tiếp là : \(T=a.\left(a+1\right).\left(a+2\right)\)
-) Chứng minh \(T⋮2\)
Ta có 2 trường hợp :
*) \(a⋮2\Rightarrow T⋮2\rightarrowđpcm\)
*)\(a=2k+1\Rightarrow a+1⋮2\Rightarrow T⋮2\rightarrowđpcm\)
-) Chứng minh \(T⋮3\)
Có 3 trường hợp :
*)\(a⋮3\Rightarrow T⋮3\rightarrowđpcm\)
*)\(a=2k+1\Rightarrow a+2⋮3\Rightarrowđpcm\)
*) \(a=2k+2\Rightarrow a+1⋮3\Rightarrow T⋮3\rightarrowđpcm\)
Mà 2,3 nguyên tố cùng nhau
\(\Rightarrow T⋮2.3=6\Rightarrow T⋮6\rightarrowđpcm\)
+) Chứng minh tích của 5 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 5
Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là a; a + 1 ; a + 2 ; a + 3; a + 4
Theo bài ta có :
\(a.\left(a+1\right).\left(a+2\right).\left(a+3\right).\left(a+4\right)\)
\(=5a\left(1.2.3.4\right)\)
\(=5a.24\)
\(=a.120⋮5\)
\(\Rightarrowđpcm\)
