Question

CMR:\(\forall n\in N\)*(n>1) thì \(2^{2^n}+1\) có chữ số tận cùng là 7

Answer 1

Lời giải:

Ta có: \(2^{2^n}+1=2^{2^{n-1}.2}+1=(2^2)^{2^{n-1}}+1=4^{2^{n-1}}+1\)

Nhận thấy:

\(4^1=4\)

\(4^2=4^2.4=...6\)

\(4^3=4^2.4=..6\times 4=...4\)

\(4^4=4^3.4=...4\times 4=...6\)

\(4^5=4^4.4=...6\times 4=...4\)

\(4^6=4^5.4=....4\times 4=....6\)

.............................

Như vậy, ta thấy lũy thừa bậc chẵn của $4$ thì có tận cùng là $6$

Vì \(n>1\Rightarrow 2^{n-1}\) chẵn. Do đó \(4^{2^{n-1}}\) có tận cùng là 6

\(\Rightarrow 2^{2^n}+1=4^{2^{n-1}}+1\) có tận cùng là $7$

Ta có đpcm.