Lời giải:
Mình nghĩ bạn nên thêm điều kiện $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của tam giác. Nếu không có điều kiện, cho $a=1,b=6,c=2$ ta thấy vế 2 sai ngay lập tức.
------------------------------
CM vế đầu tiên:
Xét hiệu:
\(a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ac)=\frac{2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac}{2}\)
\(=\frac{(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ac+a^2)}{2}=\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2}\)
\(\geq 0, \forall a,b,c>0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\)
CM vế thứ hai:
Vì $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác nên áp dụng BĐT về tam giác ta có:
\(\left\{\begin{matrix} a< b+c\\ b< c+a\\ c< a+b\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^2< ab+ac\\ b^2< bc+ba\\ c^2< ca+cb\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2< 2(ab+bc+ac)\) (cộng theo vế 3 BĐT trên)
Do đó ta có đpcm.
