Cho tam giác ABC có: M,N lần lượt là trung điểm của AB; AC. Kẻ MP sao cho N là trung điểm của MP.
Ta có hình vẽ:
Xét tam giác AMN và tam giác NCP có:
AN = NC (GT)
góc ANM = góc CNP (đối đỉnh)
MN = NP (GT)
=> tam giác AMN = tam giác NCP (c.g.c)
=> AM = CP (2 cạnh tương ứng)
Mà theo giả thiết ta có: AM = MB
=> MB = CP (1)
Ta có: tam giác AMN = tam giác NCP
=> góc MAN = góc NCP (2 góc tương ứng)
Mà 2 góc này đang ở vị trí so le trong
=> AM // CP
Vì AM trùng MB nên MB // CP
Ta có: MB // CP => góc BMC = góc MCP (so le trong) (2)
MC: cạnh chung (3)
Từ (1),(2),(3) => tam giác BMC = tam giác MCP
=> góc PMC = góc MCB (2 góc tương ứng)
Mà 2 góc này đang ở vị trí so le trong
=> MP // BC
hay MN // BC (*)
Ta có: tam giác BMC = tam giác MCP
=> MP = BC (2 cạnh tương ứng)
Mà MN = NP =1/2 MP (theo giả thiết)
hay MN = 1/2 BC (**)
Từ (*),(**) => Ta có đpcm
