Lời giải:
Điều kiện $a,n,b,c$ là những số nguyên.
Ta có:
\(P=n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2-1)(n^2+1)=n(n-1)(n+1)(n^2+1)\)
Ta thấy $n(n-1)$ là tích hai số nguyên liên tiếp nên $n(n-1)\vdots 2$
\(\Rightarrow P=n(n-1)(n+1)(n^2+1)\vdots 2(1)\)
Ta thấy $n(n-1)(n+1)$ là tích 3 số nguyên liên tiếp nên $n(n-1)(n+1)\vdots 3$
\(\Rightarrow P\vdots 3(2)\)
Mặt khác: \(P=n(n^2-1)(n^2+1)\)
Ta biết rằng một số chính phương khi chia cho $5$ thì dư $0,1,4$
Nếu $n^2$ chia $5$ dư $0$, suy ra $n\vdots 5$ \(\Rightarrow P\vdots 5\)
Nếu $n^2$ chia $5$ dư $1$ thì $n^2-1\vdots 5$, suy ra $P\vdots 5$
Nếu $n^2$ chia $5$ dư $4$ thì $n^2+1\vdots 5$, suy ra $P\vdots 5$
Vậy tóm lại $P\vdots 5$ $(3)$
Từ $(1);(2);(3)$ mà $2,3,5$ đôi một nguyên tố cùng nhau nên $P\vdots 60$ (đpcm)
$B=a^5-a$ giống y hệt phần chứng minh $P\vdots 5$ ở trên
c)
Theo công thức hằng đẳng thức:
\(a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b)(b+c)(c+a)\)
Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số $a,b,c$ tồn tại it nhất \(\left[\frac{3}{2}\right]+1=2\) số có cùng tính chẵn lẻ. Giả sử đó là $a,b$. Khi đó $a+b\vdots 2$
\(\Rightarrow 3(a+b)(b+c)(c+a)\vdots 6\)
Mà \((a+b+c)^3\vdots 6\) do \(a+b+c\vdots 6\)
Do đó: \(a^3+b^3+c^3\vdots 6\) (đpcm)
