Question

CMR

\(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}\)+\(\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}\)+\(\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}\)+....+\(\frac{1}{\sqrt{78}+\sqrt{80}}\)>4

Answer 1

\(\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{1}+2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{1}+2\sqrt{2}}>\frac{1}{2\sqrt{1}+2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{2}+2\sqrt{3}}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\right)=\frac{1}{2}\left(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\)

Tương tự với các biểu thức còn lại rồi cộng vế với vế ta có:

\(VT>\frac{1}{2}\left(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{81}-\sqrt{80}\right)=\frac{1}{2}\left(\sqrt{81}-1\right)=4\)