Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Ba Dao Mot Thoi

CMR

\(\dfrac{1}{4+1^4}+\dfrac{3}{4+3^4}+....\dfrac{2n-1}{4+\left(2n-1\right)^4}=\dfrac{n^2}{4n^2+1}\)

với mọi n nguyên dương

Akai Haruma
24 tháng 3 2018 lúc 22:34

Lời giải:

Ta có: \(4+(2n-1)^4=[(2n-1)^2+2]^2-[2(2n-1)]^2\)

\(=[(2n-1)^2+2-2(2n-1)][(2n-1)^2+2+2(2n-1)]\)

\(\Rightarrow \frac{2n-1}{4+(2n-1)^4}=\frac{2n-1}{[(2n-1)^2+2-2(2n-1)][(2n-1)^2+2+2(2n-1)]}\)

\(=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{(2n-1)^2+2-2(2n-1)}-\frac{1}{(2n-1)^2+2+2(2n-1)}\right)\)

Do đó:

\(\frac{1}{4+1^4}=\frac{1}{4}(1-\frac{1}{5})\)

\(\frac{3}{4+3^4}=\frac{1}{4}(\frac{1}{5}-\frac{1}{17})\)

\(\frac{5}{4+5^4}=\frac{1}{4}(\frac{1}{17}-\frac{1}{37})\)

......

Do đó:

\(\frac{1}{4+1^4}+\frac{3}{4+3^4}+...+\frac{2n-1}{4+(2n-1)^4}=\frac{1}{4}(1-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{17}+...+\frac{1}{(2n-1)^2+2-2(2n-1)}-\frac{1}{(2n-1)^2+2+2(2n-1)})\)

\(=\frac{1}{4}(1-\frac{1}{(2n-1)^2+2+2(2n-1)})=\frac{1}{4}(1-\frac{1}{(2n-1+1)^2+1})\)

\(=\frac{1}{4}(1-\frac{1}{4n^2+1})=\frac{n^2}{4n^2+1}\)

Ta có đpcm.

ngonhuminh
25 tháng 3 2018 lúc 11:47

n=1 ; \(\dfrac{1}{4+1^4}=\dfrac{1}{5}=\dfrac{1^2}{4.^2+1}=\dfrac{1}{5};dung\)

giả sử n =k đúng \(\Leftrightarrow S=\dfrac{1}{4+1^4}+...+\dfrac{2k-1}{4+\left(2k-1\right)^4}=\dfrac{k^2}{4k^2+1}\) (*)

cần c/m đúng n =k+1 ;

c/m

với n=k+1

\(S=\left(\dfrac{1}{4+1^4}+...+\dfrac{2k-1}{4+\left(2k-1\right)^4}\right)+\dfrac{2\left(k+1\right)-1}{4+\left(2\left(k+1\right)-1\right)^4}\)

từ (*) =>\(S=\dfrac{k^2}{4k^2+1}+\dfrac{2\left(k+1\right)-1}{4+\left(2\left(k+1\right)-1\right)^4}\)

\(k+1=t\Leftrightarrow k=t-1\)

\(S=\dfrac{t^2-2t+1}{4\left(t^2-2t+1\right)+1}+\dfrac{2t-1}{4+\left(2t-1\right)^4}\)

\(S=\dfrac{t^2-2t+2}{4t^2-8t+5}+\dfrac{2t-1}{\left(4t^2+1\right)\left(4t^2-8t+5\right)}=\dfrac{\left(t^2-2t+1\right)\left(4t^2+1\right)+2t-1}{\left(4t^2+1\right)\left(4t^2-8t+5\right)}\)\(S=\dfrac{t^2\left(4t^2-8t+5\right)}{\left(4t^2+1\right)\left(4t^2-8t+5\right)}=\dfrac{t^2}{\left(4t^2+1\right)}=\dfrac{\left(k+1\right)^2}{4\left(k+1\right)^2+1}\)

Vậy tổng trên đúng với k +1

theo Quy nạp ta có dpcm


Các câu hỏi tương tự
Vũ Thanh Hằng
Xem chi tiết
Thu Hà Nguyễn
Xem chi tiết
Yuki Nguyễn
Xem chi tiết
casio
Xem chi tiết
fjjhdjhjdjfjd
Xem chi tiết
Đang Thuy Duyen
Xem chi tiết
Hoàng Thảo Linh
Xem chi tiết
Nguyễn minh thư
Xem chi tiết
Trung Nguyen
Xem chi tiết