Cho 4 số a,b,c,d dương
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 4 sô
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\sqrt{4}\left(a^4.b^4.c^4.d^4\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\) (ĐPCM)
C1: Do \(a^4;b^4;c^4;d^4\ge0\) nên áp dụng BĐT cauchy cho 4 số không âm ta có:
\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\sqrt[4]{a^4.b^4.c^4.d^4}=4abcd\)
C2: Ta có: \(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2\sqrt{a^4.b^4}+2\sqrt{c^4.d^4}=\)
\(=2a^2b^2+2c^2d^2\ge2\sqrt{2a^2b^2+2c^2d^2}=4abcd\)
Sửa lại đoạn \(2\sqrt{2a^2b^2+2c^2d^2}\) thành \(2\sqrt{2a^2b^2.2c^2d^2}\) nhé
Xét hiệu:
\(a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd\)
\(=a^4-2a^2b^2+b^4+c^4-2c^2d^2+d^4+2a^2b^2-4abcd+2c^2d^2\)
\(=\left(a^2-b^2\right)^2+\left(c^2-d^2\right)^2+2\left(ab-cd\right)^2\ge0\) ( luôn đúng)
Vậy: \(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\)
