Ta có hình vẽ:
Ta có: \(Om\) là tia phân giác của \(\widehat{xOz}\) nên:
\(\widehat{xOm}=\widehat{zOm}=\dfrac{1}{2}\widehat{xOz}\)
\(On\) là tia phân giác của \(\widehat{yOt}\) nên:
\(\widehat{yOn}=\widehat{tOn}=\dfrac{1}{2}\widehat{tOn}\)
Vì:\(\widehat{xOz}=\widehat{yOt}\) (đối đỉnh) nên:
\(\dfrac{1}{2}\widehat{xOz}=\dfrac{1}{2}\widehat{yOt}\)
Vì 2 tia \(Oz\) và \(Oy\) nằm giữa \(\widehat{mOn}\) nên:
\(\widehat{mOz}+\widehat{yOz}+\widehat{yOn}=\widehat{mOn}\)
Đồng nghĩa với:
\(\dfrac{1}{2}\widehat{xOz}+\widehat{yOz}+\dfrac{1}{2}\widehat{tOy}=\widehat{mOn}\)
Mà \(\dfrac{1}{2}\widehat{xOz}=\dfrac{1}{2}\widehat{tOy}\)
Nên:
\(\dfrac{1}{2}\widehat{xOz}+\widehat{yOz}+\dfrac{1}{2}\widehat{xOz}=\widehat{mOn}\)
Suy ra \(\widehat{mOn}=\widehat{yOz}+\widehat{xOz}\)
Vì \(\widehat{yOz}\) và \(\widehat{xOz}\) kề bù nên:
\(\widehat{mOn}=180^o\)
Nên: \(Om\) đối \(On\)
xét các tia x'ox và y'oy, có hai góc đối đỉnh là xoy và x'oy'
gọi ot và ot' là hai tia phân giác tương ứng
Thấy: góc xoy = góc x'oy'
=> góc yot = góc y'ot'
ta có: góc xoy + góc xoy' = góc toy' + góc yot = 180o
<=> góc toy' + góc y'ot' = góc tot' = 180o
=> ot và ot' là hài tia đối nhau
Ta có: \(\widehat{mOx}=\widehat{yOn}\) (hai góc đối đỉnh)
Vì Oa là tia phân giác của \(\widehat{xOm}\)
Ob là tia phân giác của \(\widehat{yOn}\)
\(\Rightarrow\widehat{mOa}=\widehat{nOb}=\dfrac{1}{2}\widehat{xOm}\) (1)
Mặt khác, tia Om và tia On đối nhau nên
\(\widehat{mOb}\) và \(\widehat{bOn}\) là hai góc kề bù
\(\Rightarrow\widehat{mOb}+\widehat{bOn}=180^o\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{mOb}+\widehat{aOm}=180^o\)
Ta có hai tia Oa và tia Ob thuộc hai nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Om và \(\Rightarrow\widehat{mOb}+\widehat{aOm}=180^o\) nên hai tia Oa và Ob đối nhau
