Question

Chứng minh rằng với a,b,c là các số thực không âm

\(a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$a^4+b^4\geq 2a^2b^2$

$b^4+c^4\geq 2b^2c^2$

$c^4+a^4\geq 2c^2a^2$

Cộng theo vế và thu gọn: $\Rightarrow a^4+b^4+c^4\geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2(1)$

Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:

$a^2b^2+b^2c^2\geq 2ab^2c$

$b^2c^2+c^2a^2\geq 2abc^2$

$c^2a^2+a^2b^2\geq 2a^2bc$

Cộng theo vế và thu gọn:$\Rightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq abc(a+b+c)(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow a^4+b^4+c^4\geq abc(a+b+c)$

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Answer 2

Cái này ngắn gọn hơn cách làm của cô @Akai Haruma.

\(a^4+b^4+c^4=\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2+\left(c^2\right)^2\)

\(\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)

\(=\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ca\right)^2\)

\(\ge ab.bc+bc.ca+ca.ab\)

\(=abc\left(a+b+c\right)\)

Answer 3

No choice teen