Question

Chứng minh rằng  =  khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD  và BC trùng nhau.

Answer 1

Ta chứng minh hai mệnh đề.

a) Cho   =  thì AD và BC có trung điểm trùng nhau. Gọi I là trung điểm của AD ta chứng minh I cũng là trung điểm của BC.

Theo quy tắc của ba điểm của tổng, ta có  =  + ;

 = + 

Vì  =  nên  +  =  + 

=>  –  =  – 

=>  +  =  +               (1)

Vì I là trung điểm của AD nên   +  =                (2)

Từ (1) và (2) suy ra  +  =                                (3)

Đẳng thức (3) chứng tỏ I là trung điểm của BC.

b) AD và BC  có chung trung điểm I, ta chứng minh  = .

I là trung điểm của AD    =>   +  =    =>  –  =

I là trung điểm của BC    =>  +  =     =>   – = 

Suy ra   –  =   – 

=>  +  =  +     =>   = (đpcm)