Question

Chứng minh rằng 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 là 1 số chính phương.

Answer 1

Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là n, n + 1, n+ 2, n + 3 (n € N). Theo đề bài ta có:

n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + 1

= (n² + 3n)( n² + 3n + 2) + 1 (*)

Đặt n² + 3n = t (t € N) thì (*) = t( t + 2 ) + 1 = t² + 2t + 1 = ( t + 1 )²

= (n² + 3n + 1)²

Vì n € N nên suy ra: (n² + 3n + 1) € N.

=> Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương.