Question

Chứng minh mọi số phức z,

\(\left|z+1\right|\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\)  hoặc  \(\left|z^2+1\right|\ge1\)

Answer 1

Phản chứng

\(\left|z+1\right|\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\)  hoặc \(\left|z^2+1\right|<1\)

Đặt z=a+bi => \(z^2=a^2-b^2+2abi\)

                        \(\left(1+a^2-b^2\right)^2+4a^2b^2<1\) ; \(\left(1+a\right)^2+b^2<\frac{1}{2}\)

                        \(\Rightarrow\left(a^2+b^2\right)^2+2\left(a^2+b^2\right)<0\) ; \(2\left(a^2+b^2\right)+4a+1<0\)

Cộng các bất đẳng thức ta được

\(\left(a^2+b^2\right)^2+\left(2a+1\right)^2<0\)

=> Mâu thuẫn => Điều cần chứng minh