Ta có: \(\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)=\left(\sqrt{n+1}\right)^2-\left(\sqrt{n}\right)^2=n+1-n=1\) \(\Leftrightarrow\) \(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\) với n là số tự nhiên
Bài 1: CM với mọi số nguyên dương n thì \(\dfrac{1}{2\sqrt{1}}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}}+\dfrac{1}{4\sqrt{3}}+.....+\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\)
Bài 2: CM với mọi số tự nhiên n>=2 đều có \(\sqrt{n}< \dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}}+.....+\dfrac{1}{\sqrt{n}}< 2\sqrt{n}\)
chứng minh
\(\dfrac{1}{\left(n+1\right).\sqrt{n}}< \dfrac{2}{\sqrt{n}}-\dfrac{2}{\sqrt{n}+1}\)
với n >1 và n∈N
Rút gọn
\(A=\dfrac{1+\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{3+\sqrt{5}}}+\dfrac{1-\sqrt{5}}{\sqrt{2}-\sqrt{3-\sqrt{5}}}\)
\(B=\dfrac{1}{\sqrt{1}-\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}+....+\dfrac{1}{\sqrt{n-1}-\sqrt{n}}\) (n thuộc N, n>=2)
Chứng minh đẳng thức:
\(\dfrac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{2010\sqrt{2009}+2009\sqrt{2010}}=1-\dfrac{\sqrt{2010}}{2010}\)
B = \(\dfrac{4+\sqrt{3}}{\sqrt{1}+\sqrt{3}}+\dfrac{6+\sqrt{8}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+...+\dfrac{2n+\sqrt{n^2-1}}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}}+\dfrac{240+\sqrt{14399}}{\sqrt{119}+\sqrt{121}}\)
A = \(\dfrac{4+\sqrt{3}}{\sqrt{1}+\sqrt{3}}+\dfrac{6+\sqrt{8}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+...+\dfrac{2n+\sqrt{n^2-1}}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}}+\dfrac{240+\sqrt{14399}}{\sqrt{119}+\sqrt{121}}\)
B= \(\dfrac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{4}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}-\sqrt{5}}-....+\dfrac{1}{\sqrt{100}-\sqrt{101}}\)
Cho biểu thức A= \(\dfrac{15\sqrt{x}-11}{x+2\sqrt{x}-3}+\dfrac{3\sqrt{x}-2}{1-\sqrt{x}}-\dfrac{3}{\sqrt{x}+3}\left(x\ge0,x\ne1\right)\)
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm số nguyên x để A là một số nguyên
Chứng minh đẳng thức:\(\sqrt{\dfrac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}+\sqrt{\dfrac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}=4\)
trục căn thức
a) \(\dfrac{1}{\sqrt{x-1}};\dfrac{a+2}{\sqrt{a^2-4}};\dfrac{x-y}{\sqrt{x^2-y^2}};\dfrac{a}{\sqrt{x^2}}\) (n lẻ)
b) \(\dfrac{\sqrt{x^2-1}+1}{\sqrt{x^2-1}-1}\)
c) \(\dfrac{2}{\sqrt{7-2\sqrt{6}}}\)
