Question

Chứng minh A không phải số nguyên biết A = \(\dfrac{x}{x+y}\) + \(\dfrac{y}{y+z}\) + \(\dfrac{z}{z+x}\)

Answer 1

Ta có: \(\dfrac{x}{x+y}>\dfrac{x}{x+y+z}\)

\(\dfrac{y}{y+z}>\dfrac{y}{x+y+z}\)

\(\dfrac{z}{z+x}>\dfrac{z}{x+y+z}\)

Cộng vế với vế lại ta được:

\(A>\dfrac{x}{x+y+z}+\dfrac{y}{x+y+z}+\dfrac{z}{x+y+z}=\dfrac{x+y+z}{x+y+z}=1\)

\(\Rightarrow A>1\) (1)

Lại có: \(\dfrac{x}{x+y}< \dfrac{x+y}{x+y+z}\)

\(\dfrac{y}{y+z}< \dfrac{y+z}{x+y+z}\)

\(\dfrac{z}{z+x}< \dfrac{z+x}{x+y+z}\)

Cộng vế với vế lại ta được:

\(A< \dfrac{x+y}{x+y+z}+\dfrac{y+z}{x+y+z}+\dfrac{z+x}{x+y+z}=\dfrac{x+y+y+z+z+x}{x+y+z}=\dfrac{2x+2y+2z}{x+y+z}=\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}=2\)

\(\Rightarrow A< 2\) (2)

Từ (1) và (2) => 1 < A < 2

Vậy A không phải số nguyên (dpcm)

Answer 2

Giải:

Ta có: \(\dfrac{x}{x+y}>\dfrac{x}{x+y+z}\).

\(\dfrac{y}{y+z}>\dfrac{y}{y+z+x}.\)

\(\dfrac{z}{z+x}>\dfrac{z}{z+x+y}.\)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{y}{y+z}+\dfrac{z}{z+x}>\dfrac{x}{x+y+z}+\dfrac{y}{y+z+x}+\dfrac{z}{z+x+y}.\)

= \(\dfrac{x+y+z}{x+y+z}\) = 1.

\(\Rightarrow A>1._{\left(1\right).}\)

Ta lại có: \(\dfrac{x}{x+y}< \dfrac{x+y}{x+y+z}.\)

\(\dfrac{y}{y+z}< \dfrac{y+z}{y+z+x}.\)

\(\dfrac{z}{z+x}< \dfrac{z+x}{z+x+y}.\)

\(\Rightarrow A< \dfrac{x+y}{x+y+z}+\dfrac{y+z}{y+z+x}+\dfrac{z+x}{z+x+y}.\)

\(=\dfrac{x+y+y+z+z+x}{x+y+z}.\)

\(=\dfrac{\left(x+x\right)+\left(y+y\right)+\left(z+z\right)}{x+y+z}.\)

\(=\dfrac{2x+2y+2z}{x+y+z}.\)

\(=\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}.\)

\(=2.\)

\(\Rightarrow A< 2._{\left(2\right).}\)

Từ ₍₁₎ và ₍₂₎ suy ra 1 < A < 2.

\(\Rightarrow\) A không phải là số tự nhiên. (đpcm).

CHÚC BN HỌC GIỎI!!! :)) :)) :))