Question

Cho\(S=7+7^3+7^5+....+7^{2017}\)

chứng minh S chia hết cho 35

Answer 1

\(S=7+7^3+7^5+7^7+7^8+......+7^{2015}+7^{2017}\)

\(\Leftrightarrow S=\left(7+7^3\right)+\left(7^5+7^7\right)+\left(7^9+7^{11}\right)......+\left(7^{2015}+7^{2017}\right)\)

\(\Leftrightarrow S=\left(7+7^3\right)+7^4\left(7+7^3\right)+7^8\left(7+7^3\right)+......+7^{2014}\left(7+7^3\right)\)

\(\Leftrightarrow S=350+7^4.350+7^8.350+......+7^{2014}.350\)

\(\Leftrightarrow S=350\left(1+7^4+7^8+......+7^{2014}\right)\)

\(\Leftrightarrow S=35.10\left(1+7^4+7^8+......+7^{2014}\right)⋮35\left(dpcm\right)\)

Answer 2

\(S=7+7^3+7^5+7^7+7^8+......+7^{2015}+7^{2017}\)

\(\Leftrightarrow S=\left(7+7^3\right)+\left(7^5+7^7\right)+\left(7^9+7^{11}\right)......+\left(7^{2015}+7^{2017}\right)\)

\(\Leftrightarrow S=\left(7+7^3\right)+7^4\left(7+7^3\right)+7^8\left(7+7^3\right)+......+7^{2014}\left(7+7^3\right)\)

\(\Leftrightarrow S=350+7^4.350+7^8.350+......+7^{2014}.350\)

\(\Leftrightarrow S=350\left(1+7^4+7^8+......+7^{2014}\right)\)

\(\Leftrightarrow S=35.10\left(1+7^4+7^8+......+7^{2014}\right)⋮35\left(dpcm\right)\)