Question

Cho▲ABC cân tại A. Kẻ BD vuông góc AC, CE vuông góc AB (D ϵ AC, E ϵ AC). Gọi I là giao điểm BD và CE. Chứng minh rằng:

a) BE=CD, AE=AD b) ▲AEI=▲ADI

c) AI là tia phân giác góc BAC

d) ▲BEI=▲CDI e) ▲IBC là tam giác gì? Vì sao?

f*) Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh rằng A,I,M thẳng hàng

Answer 1

a) Xét \(\Delta BEC,\Delta DCB\) có:

\(\widehat{EBC}=\widehat{DCB}\) (ΔABC cân tại A)

\(BC:Chung\)

\(\widehat{BEC}=\widehat{CDB}\left(=90^o\right)\)

=> \(\Delta BEC=\Delta DCB\) (cạnh huyền - góc nhọn)

=> \(BE=CD\) (2 cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta AEC,\Delta ADB\) có:

\(\widehat{A}:Chung\)

\(AB=AC\) (ΔABC cân tại A)

\(\widehat{AEC}=\widehat{ADB}\left(=90^{^O}\right)\)

=> \(\Delta AEC=\Delta ADB\) (cạnh huyền - góc nhọn)

=> \(AE=AD\) (2 cạnh tương ứng)

b) Xét \(\Delta AEI,\Delta ADI\) có :

\(AE=AD\)(cmt)

\(\widehat{AEI}=\widehat{ADI}\left(=90^o\right)\)

\(AI:Chung\)

=> \(\Delta AEI=\Delta ADI\left(c.g.c\right)\)

c) Từ \(\Delta AEI=\Delta ADI\left(cmt\right)\) suy ra :

\(\widehat{EAI}=\widehat{DAI}\) (2 góc tương ứng)

Do đó, AI là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)

d) Xét \(\Delta BEI,\Delta CDI\) có :

\(\widehat{BEI}=\widehat{CDI}\left(=90^o\right)\)

\(BE=CD\) (chứng minh câu a)

\(\widehat{BIE}=\widehat{CID}\) (đối đỉnh)

=> \(\Delta BEI=\Delta CDI\left(g.c.g\right)\)

e) Từ \(\Delta BEC=\Delta DCB\) (câu a) suy ra :

\(\widehat{ECB}=\widehat{DBC}\) (2 góc tương ứng)

Hay : \(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)

Do đó, \(\Delta IBC\) cân tại I (đpcm)

f) Xét \(\Delta ABM,\Delta ACM\) có :

\(AB=AC\) (ΔABC cân tại A)

\(AM:Chung\)

\(BM=CM\) (M là trung điểm của BC)

=> \(\Delta ABM=\Delta ACM\left(c.c.c\right)\)

=> \(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\) (2 góc tương ứng)

=> AM là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)

Lại có : AI là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) (chứng minh câu c)

Do đó : A, I ,M thẳng hàng (đpcm)