Question

Cho x,y,z>0 và xyz=1. cmr: x^2/(1+y) + y^2/(1+z) + z^2/(1+x) >= 3/2.?

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{x^2}{1+y}+\frac{y^2}{1+z}+\frac{z^2}{1+x}\geq \frac{(x+y+z)^2}{1+y+1+z+1+x}=\frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)+3}\)

Áp dụng BĐT Cauchy:

\(x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}=3\)

Do đó:

\(\frac{x^2}{1+y}+\frac{y^2}{1+z}+\frac{z^2}{1+x}\geq \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)+3}\geq \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)+(x+y+z)}=\frac{x+y+z}{2}\geq \frac{3}{2}\)

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$

P/s: Bạn chú ý lần sau gõ tiêu đề bằng công thức toán !!!