Question

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn: xyz=1

Tìm giá trị lớn nhất của: \(A=\dfrac{1}{x^3+y^3+1}+\dfrac{1}{y^3+z^3+1}+\dfrac{1}{x^3+z^3+1}\)

Answer 1

Áp dụng BĐT : \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)

Ta có : \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3+1\ge xy\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x^3+y^3+1}\le\dfrac{1}{xy\left(x+y+z\right)}\) (1)

C/m tương tự ta có : \(\dfrac{1}{y^3+z^3+1}\le\dfrac{1}{yz\left(x+y+z\right)}\) (2)

\(\dfrac{1}{x^3+z^3+1}\le\dfrac{1}{xz\left(x+y+z\right)}\) (3)

Cộng từng vế của (1) (2) (3) ta được :

\(A\le\dfrac{x+y+z}{xyz\left(x+y+z\right)}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1.