Question

Cho x,y,z là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau với \(\left(x-z\right).\left(y-z\right)=z^2\). CMR: xyz là số chính phương.

Giúp mình với @Ace Legona, @Akai Haruma, @Võ Đông Anh Tuấn, @Nguyễn Huy Tú, @Neet, @Bùi Nhất Duy

Answer 1

\(GT\Leftrightarrow xy-xz-yz+z^2=z^2\)\(\Leftrightarrow xy=\left(x+y\right).z\)

\(\Leftrightarrow xyz=z^2\left(x+y\right)\)(*)

Giờ chỉ cần chứng minh x+y là SCP

Gọi d (\(d\in N\))là Ước chung lớn nhất của x-z và y-z thì

\(\left\{{}\begin{matrix}x-z⋮d\\y-z⋮d\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow x-y⋮d\) mà theo đề bài ,x và y là 2 số nguyên tố cùng nhau nên nó có ƯCLN là 1 nên \(d=1\)

nói cách khác, (x-z) và (y-z) là 2 số nguyên tố cùng nhau

mà tích của chúng là một số chính phương nên (x-z) và (y-z) cũng là 2 số chính phương.

\(\left\{{}\begin{matrix}x-z=a^2\\y-z=b^2\end{matrix}\right.\)(\(a,b\in N\)) \(\Rightarrow a^2b^2=z^2\Leftrightarrow ab=z\) ( do z nguyên dương)

do đó :\(x+y=a^2+b^2+2z=a^2+b^2+2ab=\left(a+b\right)^2\)( \(a,b\in N\)) là SCP

Từ (*) ta suy ra xyz là số chính phương

Answer 2

Thầy @phynit, Cô @Bùi Thị Vân,giúp em với ạ