Question

Cho \(x,y\) là hai số dương tùy ý. Chứng minh rằng

   \(x+y+\dfrac{1}{2x}+\dfrac{2}{y}\ge3\sqrt{2}\).

Answer 1

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :

\(x+\frac{1}{2x}\ge2\sqrt{x\cdot\frac{1}{2x}}=2\sqrt{\frac{1}{2}}\)

\(y+\frac{2}{y}\ge2\sqrt{y\cdot\frac{2}{y}}=2\sqrt{2}\)

=> \(x+\frac{1}{2x}+y+\frac{2}{y}\ge2\sqrt{\frac{1}{2}}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\left(đpcm\right)\)

Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x=\sqrt{\frac{1}{2}}\\y=\sqrt{2}\end{cases}}\)

Answer 2

ấp dụng bđt cosy cho 2 cặp số dương \(\left(x,\frac{1}{2x}\right)\)và \(\left(y,\frac{2}{y}\right)\)ta có

\(x+\frac{1}{2x}+y+\frac{2}{y}\ge2\sqrt{x.\frac{1}{2x}}+2\sqrt{y.\frac{2}{y}}=2.\sqrt{\frac{1}{2}}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\)