Áp dụng hằng đẳng thức \(\left(a-b\right).\left(a+b\right)=a^2-b^2\) vào ta được:
\(\left(5x-3y+8z\right).\left(5x-3y-8z\right)=\left(5x-3y\right)^2-\left(8z\right)^2\)
\(=25x^2-30xy+9y^2-64z^2.\)
Ta dùng tính chất:
\(x^2=y^2+4z^2\Rightarrow x^2-y^2=4z^2.\)
\(\Leftrightarrow25x^2-30xy+9y^2-16.4z^2\)
\(=25x^2-30xy+9y^2-16.\left(x^2-y^2\right)\)
\(=25x^2+9y^2-30xy-16x^2+16y^2\)
\(=9x^2-30xy+25y^2\)
\(=\left(3x-5y\right)^2.\)
Ta có: \(\left(3x-5y\right)^2+1\ge0\) \(\forall x,y.\)
\(\Rightarrow\left(3x-5y\right)^2\) luôn dương.
\(\Rightarrow\left(5x-3y+8z\right).\left(5x-3y-8z\right)+1\) luông dương \(\forall x,y\left(đpcm\right).\)
Chúc bạn học tốt!
