§1. Mệnh đề

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Khoẻ Nguyển Minh

Cho x1,x2,...x100 là các số nguyên dương sao cho:

\(\dfrac{1}{\sqrt{x_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{x_2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{x_{100}}}=20\)

CMR : Tồn tại xi = xk , với i \(\ne\) k và \(i,k\in\left\{1,2,...,100\right\}\)

Hung nguyen
18 tháng 9 2017 lúc 13:55

Giả sử trong 100 số đó không có 2 số nào bằng nhau.

\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{x_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{x_2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{x_{100}}}\le\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{100}}\)

\(< 1+\dfrac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}+\dfrac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+...+\dfrac{2}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}\)

\(=1+2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}\right)\)

\(=1+2\left(\sqrt{100}-\sqrt{1}\right)=19< 20\)

Vậy trong 100 số đã cho có ít nhất 2 số bằng nhau

Truy kích
18 tháng 9 2017 lúc 11:48

Giả sử 100 số nguyên dương đã cho ko tồn tại \(x_i=x_k\)

Ko mất tính tổng quát giả sử \(x_1< x_2< x_3< ...< x_{100}\)

\(x_1;x_2;x_3;...;x_{100}\) đều là các số nguyên dương suy ra \(x_1\ge1;x_2\ge2;....;x_{100}\ge100\)

Tức là có: \(VT< \dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{100}}< 10< VP\)

Mâu thuẫn với giả thiết suy ra điều giả sử sai

Tức tồn tại \(x_i=x_k\) với \(i\ne k\)\(i,k\in\left\{1;2;...;100\right\}\)


Các câu hỏi tương tự
Ngọc Minh Đinh
Xem chi tiết
Trần Nguyễn Gia Huy
Xem chi tiết
Quách Thanh Nhã
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Nguyenquoc Hung
Xem chi tiết
Nkok limaka
Xem chi tiết
Ly Po
Xem chi tiết
trần gia nhật tiền
Xem chi tiết
SigMa
Xem chi tiết