Question

Cho x=\(1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\)

Chứng minh rằng: P=\(x^3-3x^2-3x+3\) là số chính phương

Answer 1

\(x=1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\Rightarrow x-1=\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\)

\(x^3-3x^2-3x+1=\left(x-1\right)^3-6x+4\)

Ta có \(\left(x-1\right)^3=\left(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\right)^3=2+3.\sqrt[3]{8}\left(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\right)+4\)

\(=6+6\left(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\right)=6+6\left(x-1\right)=6x\)

\(\Rightarrow x^3-3x^2-3x+1=\left(x-1\right)^3-6x+4=6x-6x+4=4\)

Mà 4 là số chính phương nên P là số chính phương