Question

Cho x>0,y>0 thỏa mãn 1/x+1/y=1/2.Tìm GTNN của P=√x+√y

Answer 1

Lời giải:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{x+y}{xy}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{xy}{2}=x+y\)

Áp dụng BĐT Cô-si: \(\frac{xy}{2}=x+y\geq 2\sqrt{xy}\)

\(\Leftrightarrow xy\geq 4\sqrt{xy}\Rightarrow \sqrt{xy}\geq 4\Rightarrow xy\geq 16\)

Do đó:

\(P^2=x+y+2\sqrt{xy}=\frac{xy}{2}+2\sqrt{xy}\geq \frac{16}{2}+2.4=16\)

\(\Rightarrow P\geq 4\)

Vậy GTNN của $P$ là $4$. Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=4\)