Question

Cho x ; y ; z là các số nguyên dương . Chứng minh \(A=\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{y}{y+z}+\dfrac{z}{z+x}\) không có giá trị nguyên

Answer 1

Ta có :

\(A=\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{y}{y+z}+\dfrac{z}{z+x}\)

\(\dfrac{x}{x+y}>\dfrac{x}{x+y+z}\)

\(\dfrac{y}{y+z}>\dfrac{y}{x+y+z}\)

\(\dfrac{z}{z+x}>\dfrac{z}{x+y+z}\)

\(\Rightarrow A>\dfrac{x+y+z}{x+y+z}=1\Rightarrow A>1\left(1\right)\)

Lại có :

\(\dfrac{x}{x+y}< \dfrac{x+z}{x+y+z}\)

\(\dfrac{y}{x+z}< \dfrac{y+z}{x+y+z}\)

\(\dfrac{z}{z+x}< \dfrac{z+x}{x+y+z}\)

\(\Rightarrow A< \dfrac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}=2\Rightarrow A< 2\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)+\left(2\right)\Rightarrow1< A< 2\Rightarrow\) \(A\) ko là số tự nhiên