Question

Cho x > 0 và y>0

CM: \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\) ≥ 2

Answer 1

Ta có

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\) ≥ 2

<=> \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2\) ≥ 0

<=> \(\frac{x^2+y^2-2xy}{xy}\) ≥ 0

=> (x - y)² ≥ 0

Vì (x-y)² ≥ 0

Vậy \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\) ≥ 2 với x > 0 và y>0

Answer 2

+ Ta có : \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2=\frac{x^2-2xy+y^2}{xy}=\frac{\left(x-y\right)^2}{xy}\ge0\forall x,y>0\)

\(\Rightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)

Dấu "=" \(\Rightarrow\left(x-y\right)^2=0\Leftrightarrow x=y\)