a) Có: \(\widehat{BAC}+\widehat{BAI}=180^0\) (kề bù)
\(\Rightarrow\widehat{BAI}=180^0-\widehat{BAC}=180^0-90^0\)
\(\Rightarrow\widehat{BAI}=90^0\)
Xét ΔBAI và ΔBAC ta có:
BA: cạnh chung
\(\widehat{BAI}=\widehat{BAC}\left(=90^0\right)\)
AI = AC (GT)
=> ΔBAI = ΔBAC (c - g - c)
\(\Rightarrow\widehat{ABI}=\widehat{ABC}\) (2 góc tương ứng)
Hay: \(\widehat{ABH}=\widehat{ABK}\)
=> BA là phân giác của \(\widehat{HBK}\)
b) Xét 2 tam giác vuông ΔAHB và ΔAKB ta có:
Cạnh huyền AB chung
\(\widehat{ABH}=\widehat{ABK}\left(cmt\right)\)
=> ΔAHB = ΔAKB (c.h - g.n)
=> HB = KB (2 cạnh tương ứng)
Gọi L là giao điểm AB và HK
Có: \(\widehat{ABH}=\widehat{ABK}\left(cmt\right)\)
Hay: \(\widehat{LBH}=\widehat{LBK}\)
Xét ΔBLH và ΔBLK ta có:
HB = KB (cmt)
\(\widehat{LBH}=\widehat{LBK}\)
LB: cạnh chung
=> ΔBLH = ΔBLK (c - g - c)
=> \(\widehat{BLH}=\widehat{BLK}\) (2 góc tương ứng)
Mà 2 góc này lại là 2 góc kề bù nên:
\(\widehat{BLH}=\widehat{BLK}=180^0:2=90^0\)
=> BL ⊥ HK
Hay: AB ⊥ HK (1)
Lại có: \(\widehat{BAC}=90^0\Rightarrow AC\perp AB\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => HK // AC
