a,
Xét ∆BDA và ∆BDC, ta có:
+ BD là cạnh chung [gt]
+ \(\widehat{DAB}=\widehat{DCB}\) [∆ABC đều]
+ BA = BC [∆ABC đều]
=> ∆BDA = ∆BDC [c-g-c]
=> \(\widehat{BDA}=\widehat{BDC}\)
Mà hai góc đó kề bù => \(\widehat{BDA}=\widehat{BDC}=\dfrac{180^o}{2}=90^o\)
=> BD ┴ AC.
Chứng minh tương tự ∆CEB = ∆CEA ta được CE┴AB
b,
Xét ∆OAE và ∆OBE, ta có:
+ EA = EB [∆CEA = ∆CEB]
+ \(\widehat{OEA}=\widehat{OEB}=90^o\) [câu a]
+ OE chung [gt]
=> ∆OEA = ∆OEB [c-g-c]
=> OA = OB [1]
Ta có: AB = AC [do ∆ABC đều]
=> \(\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}AC\Leftrightarrow BE=CD\)
\(\widehat{B}=\widehat{C}\) [∆ABC đều]
=> \(\dfrac{1}{2}\widehat{B}=\dfrac{1}{2}\widehat{C}\Leftrightarrow\widehat{OBE}=\widehat{OCD}\)
Xét ∆EOB và ∆DOC ta có:
+ \(\widehat{EOB}=\widehat{DOC}\left(đ^2\:\right)\)
+ BE = CD [cmt]
+ \(\widehat{OBE}=\widehat{OCD}\left(cmt\right)\)
=> ∆EOB = ∆DOC [g-c-g]
=> OB = OC [2]
Từ [1] và [2] => OA = OB = OC
c,
∆ABC đều \(\Rightarrow\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=60^o\)
Mà ∆OEA = ∆OEB => \(\widehat{OAE}=\widehat{OBE}=\dfrac{1}{2}\widehat{B}=30^o\)
\(\Rightarrow\widehat{AOB}=180^o-30^o\cdot2=120^o\)
Lại có: \(\widehat{OBC}=\widehat{OCB}=\dfrac{1}{2}\widehat{B}=\dfrac{1}{2}\widehat{C}=30^o\)
\(\Rightarrow\widehat{BOC}=180^o-30^o\cdot2=120^o\)
Tương tự ta có \(\widehat{AOC}=120^o\)
Vậy ta có đpcm
