Lời giải:
a)
Ta thấy $CI$ là đường phân giác của góc \(\angle ACH\Rightarrow \frac{IA}{IH}=\frac{AC}{HC}\) (theo tính chất đường phân giác)
Mặt khác, dễ thấy \(\triangle AHC\sim \triangle BAC(g.g)\Rightarrow \frac{AC}{HC}=\frac{BC}{AC}\)
\(\Rightarrow HC=\frac{AC^2}{BC}\)
Do đó, \(\frac{IA}{IH}=\frac{BC}{AC}=\frac{BD}{DA}\) (do $CD$ là phân giác góc \(\angle BCA\))
Ta có đpcm.
b) Vì \(BM,AH,CD\) đồng quy tại $I$ nên theo định lý Ceva thì:
\(\frac{AM}{MC}.\frac{BD}{AD}.\frac{CH}{BH}=1\)\(\Leftrightarrow \frac{BD}{AD}.\frac{CH}{BH}=1\Leftrightarrow BD.CH=AD.BH\)
\(\Leftrightarrow BH=\frac{BD.CH}{AD}=\frac{BC.CH}{AC}\) (tính chất đường phân giác)
Theo phần a thì \(AC^2=BC.CH\), do đó:
\(\Leftrightarrow BH=\frac{AC^2}{AC}=AC\)
Vậy \(BH=AC\)
