Question

cho tam giác ABC vuông tại A vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD vuông cân tại B ; tam giác ACF vuông cân tại Cgọi H là giao điểm của AB và CD ; K là giao điểm của Ac và BF

CM AH = AK

Answer 1

Đặt AB = c ; AC = b

Có BD // AC (cùng vuông góc với AB )

=> \(\frac{AH}{HB}=\frac{AC}{BD}=\frac{b}{c}\Rightarrow\frac{AH}{HB}=\frac{b}{c}\Rightarrow\frac{AH}{AH+HB}=\frac{b}{b+c}\Rightarrow\frac{AH}{AB}=\frac{b}{b+c}\Rightarrow\frac{AH}{c}=\frac{b}{b+c}\Rightarrow AH=\frac{bc}{b+c}\)(1)

Lại có AB // CF (cùng vuông góc với AC )

\(\Rightarrow\frac{AK}{KC}=\frac{AB}{CF}=\frac{c}{b}\Rightarrow\frac{AK}{KC}=\frac{c}{b}\)

\(\Rightarrow\frac{AK}{KC+AK}=\frac{c}{c+b}hay\frac{AK}{AC}=\frac{c}{c+b}\Rightarrow AK=\frac{cb}{c+b}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra AH = AK