Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD=AE. Các đường thẳng vẽ từ A và E với CD cắt BC ở G và H. Đường thẳng EH và đường thẳng AB cắt nhau ở M. Đường thẳng vé từ A song song với BC cắt HM tại I. CMR:
a/ Tam giác ACD = Tam giác AME.
b/ Tam giác AGB = Tam giác MIA.
c/ BG=GH.
Gọi giao điểm giữa AG và DC là P
Gọi giao điểm giữa EH và DC là K
Xét tam giác PAD , có :
góc P = 90o
=> góc ADC + góc DAP = 90o mà góc PAC + góc PAD = 90o
=> góc PDA = góc PAC ( 1 )
Vì góc KPA = góc PKE = 90o mà 2 góc ở vị trí đồng vị nên AB // EK => góc PAC = góc KEC ( hai góc đồng vị )
Ta có : góc KEC = góc AEI ( đối đỉnh ) ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) => góc PDA = góc AEI
Xét tam giác ACD và tam giác AME , có :
góc PDA = góc AEI ( chứng minh trên )
AD = AE ( gt )
góc CAB = góc MAC= 90o ( kề bù )
Do đó : tam giác ACD = tam giác AME ( g - c - g )
Vậy tam giác ACD = tam giác AME ( g - c - g )
b) AM=AB ( cùng bằng AC )
góc BAG= góc AMI ( đồng vị vì AG//MH vì cùng vuông góc DC
góc MAI= góc ABG ( đồng vị vì AI//BC)
=> ΔAGB=ΔMIA(g.c.g)
=> BG=AI
Ta có: EH⊥BC
AI//BC
=>EH⊥AI
=> Góc AIH = 90o=> ΔAIH vuông tại I
Xét hai tam giác vuông AIH và HGA
HA chung
góc AHI= góc GAH (so le trong )
=> ΔAIH=ΔHGA ( cạnh huyền-góc nhọn)
=> AI=HG
Mà AI=BG=> BG=GH
Vậy BG = GH
a/ tgiác ACD và tgiác AME là hai tgiác vuông tại A.
AD = AE (gt)
góc(ADC) = góc (AEM) (góc có cạnh tương ứng vuông góc)
=> tgiácACD = tgiácAME (g.c.g)
b/ ta có: AG//EH (cùng vuông góc với CD)
=> AG // IH
mà gt => AI // GH
vậy AGHI là hình bình hành
=>AG = IH.
mặt khác theo cm trên ta có: tgiác ACD = tgiác AME
=> AM = AC = AB
=> A là trung điểm BM, mà AI // BC
=> AI là đường trung bình của tgiác MBH
=> I là trung điểm của MH.
vậy: IM = IH = AG
có: AM = AB
góc BAG = góc AMI (so le trong)
=> tgiác AGB = tgiác MIA ( c.g.c)
c/ có AG//MH, A là trung điểm BM
=> AG là đường trung bình của tgiácBMH
=> G là trung điểm BH
hay BG = GH.
