Kẻ DK vuông góc AC
Vì \(\widehat{A}=\widehat{H}=\widehat{H}=90^o\)
=> AHDK là hình chữ nhật
Lại có: AD là phân giác góc A
=> AHDK là hình vuông.
Áp dụng định lí Pytago ta có:
\(AD=\sqrt{2}DH=\sqrt{2}d\Rightarrow d=\dfrac{AD}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{d}=\dfrac{\sqrt{2}}{AD}\)
Đặt DH = DK = AH = x
Ta có:
AB // DK (cùng vuông AC)
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{B}=\widehat{KDC}\left(slt\right)\\\widehat{H}=\widehat{K}=90^o\end{matrix}\right.\)=> \(\Delta BDH~\Delta DCK\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{BH}{DH}=\dfrac{DK}{CK}\Leftrightarrow BH\cdot CK=DH\cdot DK=x^2\)
\(\Rightarrow BH\cdot CK=\left(c-x\right)\left(b-x\right)=x^2\)
\(\Rightarrow bc-x\left(b+c\right)+x^2=x^2\)
\(\Leftrightarrow bc=x\left(b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{b+c}{bc}=\dfrac{1}{x}\Leftrightarrow\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{x}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{\sqrt{2}}{AD}=\dfrac{1}{d}\)
