Trên tia đối của tia MA lấy H sao cho MA = MH
Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta CHM\) ,có :
BM = MC ( M là trung điểm của BC )
AM = MH
\(\widehat{BMA}=\widehat{CMH}\) ( 2 góc đối đỉnh )
=> \(\Delta ABM=\Delta CHM\left(c.g.c\right)\)
=> \(\widehat{ABM}=\widehat{MCH}\)
Mà đây là 2 góc slt
=> AB // HC
Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta CHA\) ,có :
AC : cạnh chung
\(\widehat{BAC}=\widehat{HCA}=90^0\)
AB = HC ( \(\Delta ABM=\Delta CHM\) )
=> \(\Delta ABC=\Delta CHA\left(cgc\right)\)
=> BC = AH
mà AH = 2AM
=> 2AM = BC hay AM = 1/2 BC
Trên tia đối AM; lấy D sao cho AM = MD
Xét tam giác ABM và tam giác DCM có:
AM = MD (GT)
góc AMB = góc DMC (đđ)
BM = MC (GT)
=> tam giác ABM = tam giác DCM
=> góc BAM = góc MDC
Mà hai góc này đang ở vị trí slt
=> AB // DC
Ta có: AB // DC
=> góc BAC + góc ACD = 1800 (TCP)
Mà góc BAC = 900 => góc ACD = 900
Xét hai tam giác vuông BAC và DAC có:
AC: cạnh chung
AB = DC (t/g BAM = t/g DCM)
=> tam giác BAC = tam giác DAC
=> BC = AD
Mà AM = 1/2 AD
=> AM = 1/2 BC.
Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta AMC\) có :
\(MB=MC\left(gt\right)\)
\(AM\) cạnh chung
\(\Rightarrow\Delta AMB=\Delta AMC\) ( 2 cạnh góc vuông )
\(\Rightarrow AM=MB\) ( 2 cạnh t ứng )
Ta có : \(MB=\dfrac{1}{2}BC\)
\(\Rightarrow AM=\dfrac{1}{2}BC\) ( đpcm )
