Question

cho tam giac AbC vuong tai A . Goi I la trung diem cua BC . Qua I ve IM vuong goc voi AB tai M va IN vuong goc voi AC tai N . a, Chung minh AMIN la hinh chu nhat b, Goi D la diem doi xung cua I qua N .Chung minh ADCI la hinh thoi c, Duong thang BN cat DC tai K . Chung minh DK/DC=1/3

Answer 1

a) Xét tứ giác AMIN, ta có:

\(\widehat{A}\) = 90^o (△ABC vuông tại A)

\(\widehat{M}\) = 90^o (IM ⊥ AB tại M)

\(\widehat{N}\) = 90^o (IN ⊥ AC tại N)

Vậy tứ giác AMIN là hình chữ nhật.

b) *Xét △AIC, ta có:

IA = IC (AI là đường trung tuyến của △vABC)

⇒ △AIC cân tại A

Mà IN ⊥ AC (gt)

Nên IN là đường cao của △AIC

⇒ Đồng thời là đường trung tuyến

⇒ AN = NC

*Xét tứ giác ADCI, ta có:

IN = ND (gt)

AN = NC (cmt)

⇒ ADCI là hình bình hành

Mà AI = IC (cmt)

Vậy ADCI là hình thoi.

c) Gọi O là giao điểm BN và AI

Vì ADCI là hthoi (cmt)

⇒ AI // CD

⇒ \(\widehat{AIN}\) = \(\widehat{CDN}\) (so le trong)

*Cm: △INP = △DNK (g.c.g)

⇒ IP = DK

*Vì ADCI là hthoi (cmt)

⇒ AI = DC

*Ta có:

AN = NC (cmt)

⇒ BN là đường trung tuyến

*Xét △ABC, ta có:

AI, BN là đường trung tuyến (gt,cmt)

Mà AI, BN cắt nhau tại B (theo cách vẽ)

Nên P là trọng tâm của △ABC

⇒ \(\dfrac{IP}{AI}\)= \(\dfrac{1}{3}\)

Hay \(\dfrac{DK}{DC}\)= \(\dfrac{1}{3}\)