Question

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. AD là tia phân giác của tam giác CHA, BK là tia phân giác của tam giác ABC (D∈BC, K ∈AC). BK cắt AH, AD tại E và F. Chứng minh:

a, KD // AH b, \(\frac{EH}{AB}=\frac{KD}{BC}\)

Answer 1

ta có \(\widehat{BAH}+\widehat{HBA}=90^0=\widehat{BAH}+\widehat{CAH}\Rightarrow\widehat{HBA}=\widehat{CAH}\)⇒ \(\frac{\widehat{HBA}}{2}=\frac{\widehat{CAH}}{2}\Leftrightarrow\widehat{DAH}=\widehat{DBF}\)

⇒△DHA∼△DFB(G-G)

⇒ \(\widehat{DFB}=\widehat{DHA}=90^0\)

⇒ BF ⊥ DA

⇒ △BFD=△BAD(g-c-g)

⇒ BD=BA

⇒ △BKD = △BKA(c-g-c)

⇒ \(\widehat{KDB}=\widehat{KAB}=90^0\)

hay KD//AH (cùng vuông với BC)

ta có △ABC ∼△HBA(g-g)

⇒ \(\frac{AB}{HB}=\frac{HB}{AB}\) mà AB=BD ⇒\(\frac{AB}{HB}=\frac{HB}{BD}\)(1)

xét △BKD có EH//KD nên

\(\frac{BH}{BD}=\frac{EH}{KD}\)(2)

từ (1) và (2) ⇒\(\frac{AB}{BC}=\frac{EH}{KD}\)

hay \(\frac{EH}{AB}=\frac{KD}{BC}\)