Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 10 cm , AC = 8 cm . Kẻ đường phân giác BI ( I thuộc AC ) , kẻ ID vuông góc với BC ( D thuộc BC )
a ) Tính AB
b ) Chứng minh \(\Delta AIB=\Delta DIB\)
c ) Chứng minh BI là dduwowngf trung trực của AD
d ) Gọi E là giao điểm của BA và DI . Chứng minh BI vuông góc với EC
a) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\left(gt\right)\) có:
\(AB^2+AC^2=BC^2\) (định lí Py - ta - go).
=> \(AB^2+8^2=10^2\)
=> \(AB^2=10^2-8^2\)
=> \(AB^2=100-64\)
=> \(AB^2=36\)
=> \(AB=6\left(cm\right)\) (vì \(AB>0\)).
b) Xét 2 \(\Delta\) vuông \(AIB\) và \(DIB\) có:
\(\widehat{BAI}=\widehat{BDI}=90^0\left(gt\right)\)
Cạnh IB chung
\(\widehat{ABI}=\widehat{DBI}\) (vì \(BI\) là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\))
=> \(\Delta AIB=\Delta DIB\) (cạnh huyền - góc nhọn).
c) Theo câu b) ta có \(\Delta AIB=\Delta DIB.\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}AB=DB\\AI=DI\end{matrix}\right.\) (các cạnh tương ứng).
=> \(B\) và \(I\) thuộc đường trung trực của \(AD.\)
=> \(BI\) là đường trung trực của \(AD.\)
d) Xét 2 \(\Delta\) vuông \(AEI\) và \(DCI\) có:
\(\widehat{EAI}=\widehat{CDI}=90^0\left(gt\right)\)
\(AI=DI\left(cmt\right)\)
\(\widehat{AIE}=\widehat{DIC}\) (vì 2 góc đối đỉnh)
=> \(\Delta AEI=\Delta DCI\) (cạnh góc vuông - góc nhọn kề).
=> \(AE=DC\) (2 cạnh tương ứng).
+ Ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}AB+AE=BE\\DB+DC=BC\end{matrix}\right.\)
Mà \(\left\{{}\begin{matrix}AB=DB\left(cmt\right)\\AE=DC\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)
=> \(BE=BC.\)
\(\)=> \(\Delta BEC\) cân tại \(B.\)
Có \(BI\) là đường phân giác của \(\widehat{EBC}\left(gt\right)\)
=> \(BI\) đồng thời là đường cao của \(\Delta BEC.\)
=> \(BI\perp EC\left(đpcm\right).\)
Chúc bạn học tốt!
Mình cho hình nhỏ hơn chút.
