Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=5cm, AC=12cm
a) Tính BC.
b) Kéo dài AB lấy D sao cho B là trung điểm của AD. Nối CD, qua B vẽ đường thẳng vuông góc với AD cắt CD tại E. Chứng minh tam giác ABE=tam giác DBE và suy ra tam giác AED cân.
c) Kẻ AK vuông góc với BC tại K. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng BC tại F. Chứng minh B là trung điểm của KF.
d) Chứng minh tam giác AEC cân và suy ra E là trung điểm của DC.
hình bạn tự vẽ
a, Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:
AB\(^2\)+ AC\(^{ }\)\(^2\)=BC\(^2\) ( định lí Py-ta-go)
5\(^2\) + 12\(^2\) = BC\(^2\)
25 + 144 = BC\(^2\)
==> BC\(^2\)=144-25
BC\(^2\)= 119
==> BC = \(\sqrt{119}\) cm
b, Nối A và E
Ta có: B là trung điểm của AD:
==> BD = AB
Xét tam giác ABE vuông tại B và tam giác DBE vuông tại B:
+ AB = BD ( cmt)
+ BE là cạnh chung
==> tam giác ABE = tam giác DBE ( CGV-CGV)
==> AE = DE ( 2 cạnh tương ứng)
Trong tam giác AED có: AE = DE ( cmt)
==> tam giác AED cân tại E
c, Xét tam giác ABK vuông tại K và tam giác DBF vuông tại F:
+ AB = DB (cmt)
+ góc ABK = góc DBF ( đối đỉnh)
==> tam giác ABK = tam giác DBF (CH-GN)
==> BK = BF ( 2 cạnh tương ứng)
mà điểm B nằm giữa F và K
==> B là trung điểm của KF
d, Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với BE tại G
Ta có: AB vuông góc với BE tại B, CG vuông góc BE tại G:
==> AB // CG (DHNB)
==> góc ABC = góc BCG ( 2 góc so le trong)
Xét tam giác ABC vuông tại A và tam giác GCB vuông tại G:
+ góc ABC = góc BCG (Cmt)
+ BC là cạnh chung
==> tam giác ABC vả tam giác GCB ( CH-GN)
==> AB = CG ( 2 cạnh tương ứng)
mà AB = BD (cmt)
==> BD = CG
Trong tam giác BDE vuông tại B có: góc BDE + góc DBE + góc BED = 180 độ ( định lí tổng 3 góc trong tam giác ) (1)
Trong tam giác CEG vuông tại G có: góc ECG + góc CGE + góc GEC = 180 độ ( định lí tổng 3 góc trong tam giác ) (2)
Góc DBE = góc CGE = 90 độ (3)
góc BED = góc GEC (đối đỉnh) (4)
Từ (1) , (2), (3) , (4) ==> góc BDE = góc ECG
Xét tam giác BDE vuông tại B và tam giác GCE:
+ BD = CG (cmt)
+ góc BDE = góc ECG (cmt)
==> tam giác BDE = góc GCE ( CGV-GN)
==> DE = CE ( 2 cạnh tương ứng)
mả AE = DE ( tam giác AED cân)
==> AE = CE
Trong tam giác AEC có: AE= CE (cmt)
==> tam giác AEC cân tại E
Ta có: DE = EC (cmt)
điểm E nằm giữa D và C
==> E là trung điểm của DC
