Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC ). Gọi M là trung điểm đoạn BC. Vẽ MD vuông góc với AB tại D và ME vuông góc với AC tại E.
a) CM: Tứ giác ADME là hình chữ nhật
b) CM: E là trung điểm của AC. Chứng minh tứ giác CMDE là hình bình hành
c, Vẽ đuờng cao AH của tam giác ABC. CM: Tứ giác MHDE là hình thang cân
d, Qua A vẽ đuờng thẳng // voiứ DH cắt DE tại K. CM: HK vuông góc với AC
a,
Tứ giác ADME có 3 góc vuông là A, D, E nên ADME là hình chữ nhật.
b,
Ta có:
{ME⊥ACAB⊥AC⇒ME//AB{ME⊥ACAB⊥AC⇒ME//AB
Tam giác ABC có ME//AB mà M là trung điểm BC nên ME là đường trung bình trong tam giác ABC
Do đó, E là trung điểm AC.
c,
Chứng minh tương tự phần b, DM là đường trung bình của tam giác ABC và D là trung điểm AB
Suy ra {DM//ACDM=12AC⇔{DM//ECDM=EC{DM//ACDM=12AC⇔{DM//ECDM=EC
Do đó, DMCE là hình bình hành nên 2 đường chéo ME và DC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
I là trung điểm ME nên I là trung điểm DC hay D,I,C thẳng hàng.
d,
DE là đường trung bình trong tam giác ABC nên DE//BC hay DE//HM
Suy ra MHDE là hình thang
Tam giác AHC vuông tại H có trung tuyến HE nên HE=12ACHE=12AC
ADME là hình chữ nhật nên DM=AE=12ACDM=AE=12AC
Suy ra DM=HE=12ACDM=HE=12AC hay MHDE là hình thang cân.
