a) Vì \(AM\) là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\left(gt\right)\)
=> M là trung điểm của \(BC\) (1).
Vì \(F\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(M\left(gt\right)\)
=> \(M\) là trung điểm của \(FA\) (2).
Từ (1) và (2) => 2 đường chéo \(BC\) và \(FA\) cắt nhau tại trung điểm \(M\) của mỗi đường.
=> Tứ giác \(ABFC\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành).
Mà \(\widehat{BAC}=90^0\left(gt\right)\)
=> Hình bình hành \(ABFC\) là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật).
b) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại A có:
\(AB^2+AC^2=BC^2\) (định lí Py - ta - go).
=> \(6^2+AC^2=10^2\)
=> \(AC^2=10^2-6^2\)
=> \(AC^2=100-36\)
=> \(AC^2=64\)
=> \(AC=8cm\) (vì \(AC>0\)).
Vậy diện tích hình chữ nhật \(ABFC\) là:
\(S_{ABFC}=AB.AC=6.8=48\left(cm^2\right).\)
c) Xét \(\Delta ABC\) có:
D là trung điểm của \(AB\left(gt\right)\)
M --------------------- \(BC\left(cmt\right)\)
=> \(DM\) là đường trung bình của \(\Delta ABC.\)
=> \(DM\) // \(AC\) (tính chất đường trung bình của tam giác).
Hay \(EM\) // \(AC\) (3).
Vì E là điểm đối xứng với M qua \(D\left(gt\right)\)
=> D là trung điểm của \(EM.\)
=> \(DM=\frac{1}{2}EM\) (tính chất trung điểm).
Vì \(DM\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\left(cmt\right)\)
=> \(DM=\frac{1}{2}AC\) (tính chất đường trung bình của tam giác).
Mà \(DM=\frac{1}{2}EM\left(cmt\right)\)
=> \(\frac{1}{2}EM=\frac{1}{2}AC.\)
=> \(EM=AC\) (4).
Từ (3) và (4) => Tứ giác \(AEMC\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành) (đpcm).
Chúc bạn học tốt!
