Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Vũ Anh

Cho tam giác ABC vuông ở A , đường cao AH . HE vuông góc AB tại E . HF vuông góc AC tại F . Lấy O là trung điểm BC . AO cắt EF tại K . CMR :

\(\frac{1}{AK^2}=\frac{1}{HE^2}+\frac{1}{HF^2}\)

Vũ Huy Hoàng
6 tháng 7 2019 lúc 16:36

Ta có: \(\widehat{OAC}+\widehat{OAB}=90^0;\widehat{OAC}=\widehat{EAH}=\widehat{AEF}\)

\(\widehat{AEF}+\widehat{OAC}=90^0\)\(\widehat{AKE}=90^0\Rightarrow AK\perp EF\)

Dễ chứng minh AEHF là hình chữ nhật nên AE=HF; AF=HE

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông AEF vuông tại A có AK⊥EF, ta có:

\(AK.EF=AE.AF\)\(\frac{AK}{AE}=\frac{AF}{EF}\Rightarrow\frac{AK^2}{AE^2}=\frac{AF^2}{EF^2}\)\(=\frac{AK^2}{HF^2}\) (1)

\(\frac{AK}{AF}=\frac{AE}{EF}\Rightarrow\frac{AK^2}{AF^2}=\frac{AE^2}{EF^2}\)\(=\frac{AK^2}{HE^2}\) (2)

Cộng (1) với (2) ta có :

\(AK^2.\left(\frac{1}{HE^2}+\frac{1}{HF^2}\right)=\frac{AE^2+AF^2}{EF^2}=\frac{EF^2}{EF^2}=1\)

\(\frac{1}{AK^2}=\frac{1}{HE^2}+\frac{1}{HF^2}\)


Các câu hỏi tương tự
Hoàng Quốc Tuấn
Xem chi tiết
Bùi Đức Anh
Xem chi tiết
Nguyễntấndũng 5
Xem chi tiết
28 Nhật Quý
Xem chi tiết
Angela jolie
Xem chi tiết
Phạm Thế Duy
Xem chi tiết
Hoàng Việt Hà
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết