Giả sử có hai đường thẳng m, n đi qua A, cắt BC theo thứ tự tai M,N sao cho \(S_{\Delta ABM}=S_{\Delta AMN}=S_{\Delta ANC}\)
Khi đó, do ba tam giác này có cùng chiều cao AH nên
\(BM=MN=NC=\frac{1}{3}BC\)
Điều này tương đương với \(\overrightarrow{MC}=-2\overrightarrow{MB}\) và \(\overrightarrow{NB}=-2\overrightarrow{NC}\)
Từ \(\overrightarrow{MC}=-2\overrightarrow{MB}\) suy ra với mọi điểm O
đều có \(\overrightarrow{OM}=\frac{\overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{OB}}{3}\) và do đó \(M\left(-2;\frac{7}{3}\right)\)
Ta có :
\(\overrightarrow{AM}=\left(-5;\frac{22}{3}\right)=\frac{1}{3}\left(-15;22\right)\)
Suy ra đường thẳng AN đi qua điểm A(3;-5) và nhận vec tơ \(\overrightarrow{n}=\left(-3;5\right)\) làm vec tơ chỉ phương.
Do đó đường thẳng n có phương trình \(\frac{x-3}{-3}=\frac{y+5}{5}\)
