Lời giải:
Ta nhớ tới công thức: Với $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ thì \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0\)
Chứng minh:
Kéo dài $GA$ cắt $BC$ tại $I$ thì $I$ là trung điểm của $BC$. Khi đó: \(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=0\)
$G$ là trọng tâm nên theo tính chất trọng tâm: \(GA=2GI\rightarrow \overrightarrow{GA}=-2\overrightarrow{GI}\)
Khi đó:
\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow {GA}+\overrightarrow{GI}+\overrightarrow {IB}+\overrightarrow{GI}+\overrightarrow{IC}\)
\(=\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GI}+(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC})=\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GI}\)
\(=-2\overrightarrow{GI}+2\overrightarrow{GI}=0\) (đpcm)
Hoàn toàn tương tự: \(\overrightarrow{G'A'}+\overrightarrow{G'B'}+\overrightarrow{G'C'}=0\)
Quay về bài toán và áp dụng công thức trên:
\(\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GC'}\)
\(=-(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})+(\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'})\)
\(=\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}\)
\(=\overrightarrow {GG'}+\overrightarrow{G'A'}+\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{G'B'}+\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{G'C'}\)
\(=3\overrightarrow{GG'}+(\overrightarrow{G'A'}+\overrightarrow{G'B'}+\overrightarrow{G'C'})\)
\(=3\overrightarrow {GG'}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{GG'}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'})\) (đpcm)
