\(\Delta MBP\sim\Delta QMP\Rightarrow\widehat{MPB}=\widehat{QPM}\)
Suy ra MP là phân giác \(\widehat{BPQ}\)(1)
Lấy H,K là hình chiếu của M trên PQ,AB
Từ (1)\(\Rightarrow MH=MK\)(1)
\(\Delta AKM\) là nửa tam giác đều vì:
\(\widehat{AKM}=90\)
\(\widehat{MAB}=30\)( AM đồng thời cũng là phân giác góc BAC)
\(\Rightarrow MK=\frac{1}{2}AM\)( t/c nửa tam giác đều)
\(\Rightarrow MH=\frac{1}{2}AM\)
Tiếp theo ta sẽ biến đổi tương đương đẳng thức cần CM để ra 1 đẳng thức đúng:
\(\frac{S_{MPQ}}{S_{ABC}}=\frac{PQ}{2BC}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\frac{1}{2}MH.PQ}{\frac{1}{2}AM.BC}=\frac{PQ}{2BC}\)
\(\Leftrightarrow\frac{MH}{AM}=\frac{1}{2}\)( luôn đúng, đã CM đúng ở trên)
\(\RightarrowĐPCM\)
